Версия для печати
Убрать все задачи

---

В городе 57 автобусных маршрутов. Известно, что:
  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом только одна, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
  3) на каждом маршруте не менее трёх остановок.
Сколько остановок имеет каждый из 57 маршрутов?

   Решение

---

Если все 6 граней параллелепипеда — равные между собой параллелограммы, то они суть ромбы. Докажите.

   Решение

---

Решить систему
   x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 2x₅ = 1,
   x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 4x₄ + 4x₅ = 2,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ + 6x₅ = 3,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 7x₄ + 8x₅ = 4,
   x₁ + 3x₂ + 5x₃ + 7x₄ + 9x₅ = 5.

   Решение

---

Докажите, что если треугольник ABC лежит внутри треугольника A'B'C', то  r_ABC < r_A'B'C'.

   Решение

---

Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основанием AC проведена окружность, касающаяся стороны BC в точке M и пересекающая сторону AB в точке N. Докажите, что AN > CM.

   Решение

---

Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна L. Докажите, что из этих векторов можно выбрать некоторое число векторов (может быть, только один) так, что длина их суммы будет не меньше L/.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116615  (#10.1.1)

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Решите уравнение:  .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116616  (#10.1.2)

Темы:   [ Площадь трапеции ] [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь параллелограмма ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

В трапеции ABCD  (AD || BC)  из точки Е – середины CD провели перпендикуляр EF к прямой AB. Найдите площадь трапеции, если  АВ = 5,  EF = 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116617  (#10.1.3)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Найдите все пары  (p, q)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116623  (#10.3.3)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В турнире по волейболу n команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть Р – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, Q – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  P = Q.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116618  (#10.2.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите значение выражения   .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями