Все источники >> Олимпиады и турниры >> Всероссийская олимпиада по математике >> 2016-2017 >> Региональный этап Классы: 9 класс (8 задач) 10 класс (8 задач) 11 класс (8 задач) Фильтр Сложность с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 по 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10   Класс с 5 6 7 8 9 10 11 по 5 6 7 8 9 10 11
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]       по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями   Задача 66017  (#9.6) Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательная окружность ] [ Теорема синусов ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Удвоение медианы ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Автор: Обухов Б. В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.
	Прислать комментарий	Решение

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Г c центром в точке O. Его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P, причём точка O лежит внутри треугольника BPC. На отрезке BO выбрана точка H так, что  ∠BHP = 90°.  Описанная окружность ω треугольника PHD вторично пересекает отрезок PC в точке Q. Докажите, что  AP = CQ.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)

Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .