Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109754  (#02.5.11.3)

Темы:   [ Показательные функции и логарифмы ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109755  (#02.5.11.4)

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109756  (#02.5.11.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108139  (#02.5.11.6)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109765  (#02.5.11.7)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Раскраски ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями