Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Точки A , B , C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.

   Решение

---

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

   Решение

---

Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить в прямоугольник площади 2.

   Решение

---

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108157  (#99.5.10.6)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109697  (#99.5.10.7)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство  x² + y³ ≥ x³ + y⁴.  Докажите, что  x³ + y³ ≤ 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109698  (#99.5.10.8)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109684  (#99.5.11.1)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109685  (#99.5.11.2)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями