Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109607 (#95.5.10.8)

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Галочкин А.И., Ляшко О.

Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109596 (#95.5.11.1)

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

Могут ли все числа 1, 2, 3 ... 100 быть членами 12 геометрических прогрессий?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109597 (#95.5.11.2)

Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109598 (#95.5.11.3)

Темы:	[	Необычные построения	]
	[	Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(n) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии n (n – натуральное). ЛЦ(n) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность неограничена.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109604 (#95.5.11.4)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]