Этапы:
-
Региональный этап
(28 задач)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Решение
Убрать все задачи
На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
Решение
Задачи
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]
Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.
На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок.
Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а
любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный
отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со
всеми черными.
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]
Задача 110124 (#03.4.11.7) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 110131 (#03.4.11.8) |
|
|
В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)
|
|
|
Решение |
Задача 109787 (#03.5.9.1) |
|
|
Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
рационально. Докажите, что для любого a из M число
рационально.
|
|
|
Решение |
Задача 108125 (#03.5.9.2) |
|
Окружности S1 и S2 с центрам O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S1 и S2 в точке A пересекают отрезки BO2 и BO1 в точках K и L соответственно. Докажите, что KL || O1O2.
|
|
|
Решение |
Задача 109789 (#03.5.9.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]
