Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]

Задача 110041 (#00.4.9.3)

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На прямой имеется 2n+1 отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Прислать комментарий Решение

Задача 108245 (#00.4.9.4)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Сонкин М., Терешин Д.А.

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110043 (#00.4.9.5)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке.

Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110044 (#00.4.9.6)

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Токарев С.И.

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина – алюминиевые массой 10 г, а остальные – дюралевые массой 9,9 г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них – одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108246 (#00.4.9.7)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]