Версия для печати
Убрать все задачи

---

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

   Решение

---

Приведённый квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  f(f(x)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  f(f(f(x))) = 0  – семь различных корней?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110055  (#01.4.11.1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Найдите все такие простые числа p и q , что  p + q = (p – q)³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110056  (#01.4.11.2)

Темы:   [ Итерации ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Приведённый квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  f(f(x)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  f(f(f(x))) = 0  – семь различных корней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108223  (#01.4.11.3)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110065  (#01.4.11.4)

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110058  (#01.4.11.5)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дана последовательность {x_k} такая, что x₁=1 , x_n+1=n sin x_n+1 . Докажите, что последовательность непериодична.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями