Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 116545 (#9.6)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Шмаров В.

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116560 (#10.6)

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Богданов И.И.

На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.
Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116568 (#11.6)

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116635 (#9.6)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Гарбер А.

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116643 (#10.6)

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Полянский А.

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB₁ и CC₁ его высот за точки B₁ и C₁ выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]