Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

   Решение

---

Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел.
Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?

   Решение

---

Дан квадратный лист клетчатой бумаги размером 100×100 клеток. Проведено несколько несамопересекающихся ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами обязательно выходят на границу. Докажите, что кроме вершин квадрата найдется еще узел (внутри квадрата или на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.

   Решение

---

Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке.
Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.

   Решение

---

Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

   Решение

---

Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13.
Найдите 2013-й член последовательности.

   Решение

---

Докажите, что число разложений натурального числа n в сумму различных натуральных слагаемых равно числу разложений числа n в сумму нечетных (возможно, повторяющихся) натуральных слагаемых.

   Решение

---

Сравните числа:  А = 2011·20122012·201320132013  и  В = 2013·20112011·201220122012.

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 7911]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116541

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC).  На меньшей дуге AB описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116599

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство  (n – 1)ⁿ⁺¹(n + 1)^n–1 < n²ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116603

Тема:   [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Разрежьте рамку (см. рис.) на 16 равных частей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116609

Тема:   [ Неопределено ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Квадрат 3×3 заполнен цифрами так, как показано на рисунке слева. Разрешается ходить по клеткам этого квадрата, переходя из клетки в соседнюю (по стороне), но ни в какую клетку не разрешается попадать дважды.

Петя прошёл, как показано на рисунке справа, и выписал по порядку все цифры, встретившиеся по пути, – получилось число 84937561. Нарисуйте другой путь так, чтобы получилось число побольше (чем больше, тем лучше).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116731

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9

Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12а⁴b², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 7911]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями