Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]

Задача 64392 (#8.8)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Дмитриев И.

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64393 (#9.1)

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E₁; продолжения сторон BC и DE – в точке A₁. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE₁C, пересекает ω в точке B₁; аналогично определяется точка D₁. Докажите, что B₁D₁ || AE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64394 (#9.2)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Нилов Ф.

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω₁ и ω₂ по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64395 (#9.3)

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что S_AOB + S_COD ≤ 2(S_AOD + S_BOC).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64396 (#9.4)

Темы:	[	Точка Торричелли	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Белухов Н.

Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A₁. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]