ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что  y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь a/x?

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 65251  (#11.2)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть  n > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  1/n, 2/n, ..., n–1/n  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  f(n). При каких натуральных  n > 1  числа  f(n) и  f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65237  (#9.3)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что  y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь a/x?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65244  (#10.3)

Темы:   [ Ориентированные графы ]
[ Отношение порядка ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трёх участников A, B, C не нашлось трёх судей, один из которых считает, что A – лучший из трёх, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для каждых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65238  (#11.3)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65238  (#9.4)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .