Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 65247 (#10.6)

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального k сумма любых k идущих подряд членов этой последовательности делится на k + 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65255 (#11.6)

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Иванов К.

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 65252 (#9.6)

Темы:	[	Теория алгоритмов	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Магазинов А.

Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65240 (#9.7)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Голованов А.С., Якубов А.

Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65248 (#10.7)

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что QM ⊥ AC и PM ⊥ AB. Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что BH = CX.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]