Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66162 (#11.1)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66156 (#11.2)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B' и C' соответственно. Через точку C' проведена прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается описанной окружности ω треугольника B'OC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66158 (#11.3)

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Петров Ф.

На доске выписаны в ряд n положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n. Вася хочет выписать под каждым числом a_i число b_i ≥ a_i так, чтобы для каждых двух из чисел b₁, b₂, ..., b_n отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство b₁b₂...b_n ≤ 2^(n–1)/2a₁a₂...a_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66165 (#11.4)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кноп К.А.

У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона ("рубашка") у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд n > 1 карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем k фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66160 (#11.5)

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]