Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66299 (#8.1)

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Авторы: Мухин Д.Г., Ширяев Д.

Четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC и AD = CD, вписан в окружность. Точка M лежит на меньшей дуге CD этой окружности. Прямые BM и CD пересекаются в точке P, а прямые AM и BD – в точке Q. Докажите, что PQ || AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66300 (#8.2)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Соколов А.

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A₁ и C₁. Докажите, что OB – биссектриса угла A₁OC₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66301 (#8.3)

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кыранбай М.

В треугольнике ABC проведена медиана CF. Точки X и Y симметричны F относительно медиан AD и BE соответственно.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников BEX и ADY совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66302 (#8.4)

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66303 (#8.5)

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

Дан квадрат ABCD. Первая окружность касается сторон угла A, вторая – сторон угла B, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону AB в её середине.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]