Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 363]

Задача 32124

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Правильный тетраэдр	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В булке за 10 копеек оказался запечен изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки найдутся две такие точки, удаленные на расстояние 1 см, что они либо не принадлежат никаким из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.

Прислать комментарий Решение

Задача 32131

Тема:

[

Теорема синусов

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что ,. Докажите, что угол C — тупой.

Прислать комментарий Решение

Задача 66625

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Целочисленные решетки	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

В доме $8N$ этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника $N\times 8$ ($N$ строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для $N=3$ см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для $N=3$ ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от $N$.)

17 18 19 20 21 22 23 24

9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8

3 6 9 12 15 18 21 24

2 5 8 11 14 17 20 23

1 4 7 10 13 16 19 22

Прислать комментарий

Решение

Задача 103970

Темы:	[	Упаковки	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Необычные построения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

На столе лежат четыре одинаковые монеты. Разрешается двигать монеты, не отрывая их от стола. Нужно расположить (не пользуясь измерительными инструментами!) монеты так, чтобы можно было положить на стол пятую монету такого же размера, касающуюся этих четырёх.

Прислать комментарий Решение

Задача 107634

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

{a₁, a₂, ..., a₂₀} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b₀, b₁, b₂, ...} по следующему правилу:
b₀ — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b₁ — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b₂ — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 363]