Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116545  (#9.6)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116560  (#10.6)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.
Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116568  (#11.6)

Темы:   [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что  BP = CP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116635  (#9.6)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение  f(x) = g(x)  имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116643  (#10.6)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB₁ и CC₁ его высот за точки B₁ и C₁ выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями