Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 65750 (#10.2)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65758 (#11.2)

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Cерединный перпендикуляр и ГМТ	]
	[	Параллелепипеды (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

В пространстве даны три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через O_ijk центр сферы, проходящей через точки A_i, B_j, C_k и P. Докажите, что прямые O₁₁₁O₂₂₂, O₁₁₂O₂₂₁, O₁₂₁O₂₁₂ и O₂₁₁O₁₂₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65695 (#9.3)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Дмитриев О., Женодаров Р.Г.

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65701 (#10.3)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Авторы: Зиманов Т., Кожевников П.А.

На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM. Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65706 (#11.3)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Кузнецов А.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к описанной окружности Ω треугольника ABC пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к описанной окружности Γ треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]