Страница: << 125 126 127 128 129 130 131 >> [Всего задач: 694]      

  Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

Прислать комментарий

Решение

Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

  а) Пусть q – натуральное число и функция   f(x) = cq^x + a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  принимает целые значения при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число  f(x) также будет целым.
  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  f(x) делится на некоторое целое  m ≥ 1  при  x = 0, 1, 2, ..., n + 1.  Докажите, что  f(x) делится на m при всех натуральных x.

Прислать комментарий

Решение

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

Прислать комментарий

Решение

Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  r > ^l/₃;   б)   r > ^l/₄;   в)   r > ^l/₅;   г)   r > ^l/₇.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 125 126 127 128 129 130 131 >> [Всего задач: 694]