Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 7 >> [Всего задач: 33]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В тетраэдре
ABCD из вершины
A опустили перпендикуляры
AB' ,
AC' ,
AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах
CD ,
BD ,
BC
пополам. Докажите, что плоскость
(
B'C'D')
параллельна плоскости
(
BCD)
.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1Pa, B1Pb, C1Pc и D1Pd пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1; A2 – точка пересечения прямой A1I с плоскостью B1C1D1; B2, C2, D2 определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A2B2C2D2.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Дана треугольная пирамида
ABCD . Сфера
S1 , проходящая через
точки
A ,
B ,
C , пересекает ребра
AD ,
BD ,
CD в точках
K ,
L ,
M соответственно;
сфера
S2 , проходящая через точки
A ,
B ,
D ,
пересекает ребра
AC ,
BC ,
DC в точках
P ,
Q ,
M соответственно.
Оказалось, что
KL|| PQ .
Докажите, что биссектрисы плоских углов
KMQ и
LMP совпадают.
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Предлагается построить
N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек
Mi и
Mj, где
i и
j — любые числа
от 1 до N.
Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?
б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?
в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
а) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоугольник, то есть многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа бумаги в клетку?
б) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранник, то есть многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих друг к другу гранями?
Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 7 >> [Всего задач: 33]
Фильтр
