Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

   Решение

---

Числа a₀, a₁,..., a_n,... определены следующим образом:

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

   Решение

---

а) Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
б) При спуске с той же лестницы Леша перепрыгивает через некоторые ступеньки (может даже через все 10). Сколькими способами он может спуститься по этой лестнице?

   Решение

---

Тождество Кассини. Докажите равенство

Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?

   Решение

---

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты n различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2n-2 гвоздями.

   Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 501]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55744

Темы:   [ Композиции поворотов ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108980

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Перебор случаев ] [ Окружности (построения) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109722

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Раскраски ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты n различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2n-2 гвоздями.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57838

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Удвоение медианы ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111786

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 501]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями