Страница:
<< 125 126 127 128
129 130 131 >> [Всего задач: 694]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек.
Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа
по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите,
что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Пусть q – натуральное число и функция
f(x) = cqx + anxn + ... + a1x + a0 принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число f(x) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое целое m ≥ 1 при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех натуральных x.
|
[Числа Стирлинга]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например, T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если: а) r > l/3; б) r > l/4; в) r > l/5; г) r > l/7.
Страница:
<< 125 126 127 128
129 130 131 >> [Всего задач: 694]
Фильтр
Решение 
