Каталог по темам

Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 354]

Задача 115399

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 73787

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

Задача 52845

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98250

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Инварианты	]
	[	Композиция центральных симметрий	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Ковальджи А.К.

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A₁, то AB = BA₁). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

Прислать комментарий Решение

Задача 116524

Темы:	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]
	[	Сфера, вписанная в трехгранный угол	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AB < BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 354]