Каталог по темам

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 496]

Задача 66648

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вписанные четырехугольники	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Спиридонов И.

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66709

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116602

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Кноп К.А.

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB·CD = AD·BC. Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78296

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Две окружности O₁ и O₂ пересекаются в точках M и P. Обозначим через MA хорду окружности O₁, касающуюся окружности O₂ в точке M, а через MB — хорду окружности O₂, касающуюся окружности O₁ в точке M. На прямой MP отложен отрезок PH = MP. Доказать, что четырёхугольник MAHB можно вписать в окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 111764

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бадзян А.И.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 496]