Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 202]

Задача 109958

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61535

[Черная пятница]

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Теория вероятностей (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98464

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109618

Темы:	[	Свойства сечений	]
	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Терешин Д.А.

Докажите, что при n ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64463

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Перебор случаев	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Плотников М.

Вокруг треугольника ABC описана окружность. Пусть X – точка внутри окружности, K и L – точки пересечения этой окружности и прямых BX и CX соответственно. Прямая LK пересекает прямую AB в точке E, а прямую AC в точке F. Найдите геометрическое место таких точек X, что описанные окружности треугольников AFK и AEL касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 202]