а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

  б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

  в) Среди решений уравнения  x₁ + x₂ + ... + x_k = m  в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

   Решение

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1111]      

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Прислать комментарий

Решение

  а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

  б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

  в) Среди решений уравнения  x₁ + x₂ + ... + x_k = m  в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга
  а) две ладьи;   б) двух королей;  в) двух слонов;   г) двух коней;   д) двух ферзей?
Все фигуры одного цвета.

Прислать комментарий

Решение

У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8×8, разбитому на клетки 1×1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2×1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8×8 с одной и той же синей картинкой.

Прислать комментарий

Решение

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.
Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1111]