Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что R1/3.

   Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 404]      

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD .

Прислать комментарий

Решение

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого многоугольника M помещена окружность максимально возможного радиуса R (это значит, что внутри M нельзя поместить окружность большего радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол (т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так, чтобы он не вылезал за пределы многоугольника M и при этом повернулся на любой заданный угол). Докажите, что R1/3.

Прислать комментарий

Решение

Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 404]