Каталог по темам

Задачи

Страница: << 226 227 228 229 230 231 232 >> [Всего задач: 1221]

Задача 116632

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116873

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Даны n + 1 попарно различных натуральных чисел, меньших 2n (n > 1).
Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64358

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Фон-дер-Флаас Д.

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73712

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
	[	Замена переменных (прочее)	]
	[	Симметрические системы. Инволютивные преобразования	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Темиров Т.

Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xⁿ – aⁿ и 2aⁿ – xⁿ равна числу a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79288

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Конягин С.В.

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на k равных по массе групп.
Доказать, что не менее чем k способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на k равных по массе групп.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 226 227 228 229 230 231 232 >> [Всего задач: 1221]