Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 418]      

В однокруговом футбольном турнире играли  n > 4  команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
  а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
  б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?

Прислать комментарий

Решение

Последовательность {a_n} строится следующим образом:  a₁ = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_an, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

Прислать комментарий

Решение

Для любого натурального числа n сумма     делится на 2^n–1. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111840

Темы:   [ Степень вершины ] [ Раскраски ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Автор: Карпов Д.В.

У выпуклого многогранника одна вершина A имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета хорошей, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из A , покрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73782

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Инварианты ] [ Деление с остатком ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Автор: Туркевич Э.

Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k имеют форму уголка, а остальные  12 – k  – прямоугольника. При каких k это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 78 79 80 81 82 83 84 >> [Всего задач: 418]