Докажите, что на окружности с центром в точке    лежит не более одной точки целочисленной решетки.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 789]      

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружности с центрами A и C проходят через точку B, вторично пересекаются в точке F и пересекают описанную окружность ω треугольника ABC в точках D и E. Отрезок BF пересекает окружность ω в точке O. Докажите, что O – центр описанной окружности треугольника DEF.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  AA₀ и BB₀ – медианы, AA₁ и BB₁ – высоты. Описанные окружности треугольников CA₀B₀ и CA₁B₁ вторично пересекаются в точке M_c. Аналогично определяются точки M_a, M_b. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c лежат на одной прямой, а прямые AM_a, BM_b, CM_c параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что  ∠AXB = ∠A'C'B' + ∠ACB  и  ∠BXC = ∠B'A'C' + ∠BAC.
Докажите, что четырёхугольник XA'BC' – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 789]