Каталог по темам

Задачи

Страница: << 84 85 86 87 88 89 90 >> [Всего задач: 448]

Задача 79314

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Куб	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

Прислать комментарий Решение

Задача 57627

Темы:	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ = (a² + b² + c²)/4S;
б) a²ctg $\alpha$ + b²ctg $\beta$ + c²ctg $\gamma$ = 4S.

Прислать комментарий Решение

Задача 111723

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Формула Герона	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c и площадью S выполнено неравенство

a²+b²+c²- (|a-b|+|b-c|+|c-a|)² 4 S.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109669

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 109944

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 84 85 86 87 88 89 90 >> [Всего задач: 448]