Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Положим  m = min {a₀, a₀ + a₁, ..., a₀ + a₁ + ... + a_n}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxⁿ  при  x ≥ 1.

   Решение

---

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и  n – 1 > 0  целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, 2002],  взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на n равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111785  (#07.4.9.8)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111770  (#06.4.10.1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111771  (#07.4.10.2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для вещественных  x > y > 0  и натуральных  n > k  докажите неравенство  (x^k – y^k)ⁿ < (xⁿ – yⁿ)^k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111772  (#07.4.10.3)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111860  (#07.4.10.4)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями