Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108224  (#05.5.9.1)

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллелограммы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Дан параллелограмм ABCD  (AB < BC).  Докажите, что описанные окружности треугольников APQ для всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что  CP = CQ,  имеют общую точку, отличную от A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109831  (#05.5.9.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².
Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109832  (#05.5.9.3)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Сумма чисел a₁, a₂, a₃, каждое из которых больше единицы, равна S, причём     для любого  i = 1, 2, 3.
Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109833  (#05.5.9.4)

Темы:   [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109834  (#05.5.9.5)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Теория графов (прочее) ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями