Этапы:
-
Региональный этап
(21 задача)
Заключительный этап
(22 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[
]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 111804 (#08.4.10.3) |
|
|
В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.
|
|
Решение |
Задача 111805 (#08.4.10.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 111806 (#08.4.10.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 111807 (#08.4.10.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 111808 (#08.4.10.7) |
|
|
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
