Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 65749 (#10.1)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Степень вершины	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Грибалко А.В.

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65750 (#10.2)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65751 (#10.3)

Темы:	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Голованов А.С.

Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (a_i, b_i, c_i), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида a_i + b_i + c_i есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65752 (#10.4)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Авторы: Берлов С.Л., Петров Ф.

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65745 (#10.5)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]