Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 65743 (#9.3)

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Саша выбрал натуральное число N > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: d₁ < ... < d_s (так что d₁ = 1 и
d_s = N). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных s – 1 чисел оказалась равной
N – 2. Какие значения могло принимать N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65751 (#10.3)

Темы:	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Голованов А.С.

Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (a_i, b_i, c_i), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида a_i + b_i + c_i есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65759 (#11.3)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

На клетчатый лист бумаги размера 100×100 положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65696 (#9.4)

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кноп К.А.

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65710 (#10.4)

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Дана клетчатая таблица 100×100, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]