Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 65794 (#6)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из середины M стороны AC треугольника ABC опущены перпендикуляры MD и ME на стороны AB и BC соответственно. Около треугольников ABE и BCD описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно ^AC/₄.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66257 (#8.6)

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике ABC ∠A = 60°, точки M и N на сторонах AB и AC соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника ABC делит отрезок MN пополам. Найдите отношение AN : MB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66265 (#9.6)

Темы:	[	Замечательное свойство трапеции	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Тимохин М.

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что AM = MD. Докажите, что ∠PMB = ∠QMB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66273 (#10.6)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Проективные преобразования прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Дан треугольник ABC. Точка K – основание биссектрисы внешнего угла A. Точка M – середина дуги AC описанной окружности. Точка N выбрана на биссектрисе угла C так, что AN || BM. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65795 (#7)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Френкин Б.Р.

В некотором выпуклом n-угольнике (n > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]