Каталог по темам

Задачи

Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1221]

Задача 73750

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Раскраски	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Тоом А.Л.

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).

а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.

б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

Прислать комментарий Решение

Задача 73810

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Условная сходимость	]

Сложность: 9
Классы: 9,10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Прислать комментарий Решение

Задача 21987

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32102

Темы:	[	Обратный ход	]
	[	Арифметика. Устный счет и т.п.	]
	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Итерации	]

Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8

У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 105097

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Автор: Акулич И.Ф.

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 213 214 215 216 217 218 219 >> [Всего задач: 1221]