Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числовая последовательность определяется условиями:  
Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?

   Решение

---

Числовая последовательность определяется условиями:    
Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.  

   Решение

---

Найдите x₁₀₀₀, если  x₁ = 4,  x₂ = 6,  и при любом натуральном  n ≥ 3  x_n – наименьшее составное число, большее   2x_n–1 – x_n–2.

   Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 629]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66159

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66173

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66178

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66359

Темы:   [ Метод координат (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Можно ли на числовой прямой расположить три отрезка чётной длины так, чтобы общие части каждых двух из них были отрезками нечётной длины?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66736

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

По кругу лежит  $2n + 1$  монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают  $2n + 1$  переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 629]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями