Версия для печати
Убрать все задачи

---

Полоска 1×10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, ..., 10. Сначала в один какой-нибудь квадрат записывают число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 – в один из соседних с уже занятыми и т. д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?

   Решение

---

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

   Решение

---

а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A₁ и B₁ движутся по той же окружности так, что величина дуги A₁B₁ остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A₁B₁C₁, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55373  (#08.001)

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Центр масс ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пусть О – центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n,  X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
   a)  

   б)   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61163  (#08.002)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите равенства:
  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;
  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;
  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61164  (#08.003)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Вычислите
  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;
  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61165  (#08.004)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Пятиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите  cos 36°  и  cos 72°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61166  (#08.005)

Темы:   [ Метод спуска ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36^o при вершине несоизмеримы.
б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями