Версия для печати
Убрать все задачи

---

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110029  (#00.4.11.7)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Даны числа 1, 2, ..., N, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделать все числа белыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110030  (#00.4.11.8)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109723  (#00.5.9.1)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109724  (#00.5.9.2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Математическая логика (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Таня задумала натуральное число  X ≤ 100,  а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель  X + M  и N?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108145  (#00.5.9.3)

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что  BL ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями