Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]

Задача 110029 (#00.4.11.7)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Токарев С.И.

Даны числа 1, 2, ..., N, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделать все числа белыми?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110030 (#00.4.11.8)

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Карпов Д.В., Берлов С.Л.

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на N + 2 республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109723 (#00.5.9.1)

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения x² + ax + 1 = 0 и x² + bx + c = 0 имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения x² + x + a = 0 и x² + cx + b = 0. Найдите сумму a + b + c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109724 (#00.5.9.2)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Таня задумала натуральное число X ≤ 100, а Саша пытается его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель X + M и N?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108145 (#00.5.9.3)

Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что BL ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]