Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]

Задача 110198 (#05.4.9.8)

Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов.

б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110179 (#05.4.10.1)

Темы:	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Синусы и косинусы углов треугольника	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Косинусы углов одного треугольника соответственно равны синусам углов другого треугольника.
Найдите наибольший из шести углов этих треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110180 (#05.4.10.2)

Темы:	[	Неравенство Коши	]
Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Докажите, что для x > 0 и натурального n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110187 (#05.4.10.3)

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Бадзян А.И.

В треугольнике ABC ( AB < BC) точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что ∠IMA = ∠INB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110181 (#05.4.10.4)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 5-

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]