Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 116564 (#11.2)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116565 (#11.3)

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шмаров В.

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2. Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116631 (#9.2)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Емельянов Л.А., Емельянова Т.

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116632 (#9.3)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116639 (#10.2)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Предел функции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов: x² + a₁x + b₁, x² + a₂x + b₂, ..., x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности a₁, a₂, ..., a₉ и b₁, b₂, ..., b₉ – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]