Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя и Вася нашли $100$ кубиков одинакового размера, $50$ из них были белого цвета и $50$ – чёрного. Они придумали игру. Назовём башенкой один или несколько кубиков, стоящих друг на друге. В начале игры все кубики лежат по одному, то есть имеется $100$ башенок. За один ход игрок должен одну из башенок поставить на другую (переворачивать башенки нельзя), при этом в новой башенке не должно быть подряд двух одинаковых по цвету кубиков. Ходят по очереди, начинает Петя. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

   Решение

---

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A'$, $B'$, $C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.

   Решение

---

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67424

Тема:   [ Отношения площадей подобных фигур ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Произвольный прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке ниже. В каждый треугольник вписан квадрат со стороной, лежащей на гипотенузе. Что больше: площадь самого большого квадрата или сумма площадей трёх остальных квадратов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67425

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на $N$ частей. При каждом ли $N\geqslant 10$ все части могли получиться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67426

Темы:   [ Пирамида (прочее) ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Верно ли, что сумма внутренних двугранных углов при основании треугольной пирамиды всегда меньше суммы внешних?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67430

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$, для которых $m!! = n!$. (Двойной факториал $m!!$ — это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих $m$ и имеющих ту же чётность, что $m$. Например, $5!! = 15$, $6!! = 48$).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67317

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями