Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано натуральное число $n$. Можно ли представить многочлен $x(x-1)\dots(x-n)$ в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?

   Решение

---

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

   Решение

---

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

   Решение

---

Есть $N$ удавов, их пасти имеют размеры $1$ см, $2$ см, $\dots$, $N$ см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду нельзя определить, какая у кого пасть. Вечером смотритель может выдать каждому удаву сколько хочет яблок каких хочет размеров, и за ночь удав заглотит все те из них, что влезают ему в пасть. Какое минимальное количество яблок суммарно смотритель должен вечером выдать удавам, чтобы утром по результату он гарантированно определил размер пасти каждого удава?

   Решение

---

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.

   Решение

---

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67413

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Квадрат разбили на несколько прямоугольников так, что центры прямоугольников образуют выпуклый многоугольник.
а) Обязательно ли каждый прямоугольник примыкает к стороне квадрата?
б) Может ли количество прямоугольников равняться $23$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67414

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67422

Темы:   [ Оценка + пример ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Есть $N$ удавов, их пасти имеют размеры $1$ см, $2$ см, $\dots$, $N$ см. Каждый удав может заглотить яблоко любого диаметра (в см), не превосходящего размер его пасти. Но по внешнему виду нельзя определить, какая у кого пасть. Вечером смотритель может выдать каждому удаву сколько хочет яблок каких хочет размеров, и за ночь удав заглотит все те из них, что влезают ему в пасть. Какое минимальное количество яблок суммарно смотритель должен вечером выдать удавам, чтобы утром по результату он гарантированно определил размер пасти каждого удава?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67427

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В математическом кружке $45$ школьников, некоторые дружат. Как ни разбивай их на тройки, в какой-то тройке все будут друг с другом дружить. Докажите, что всех школьников можно разбить на тройки так, чтобы в каждой тройке хотя бы какие-то двое дружили друг с другом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67428

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. Можно назвать положительную дробь $y$, меньшую $1$, и Петя назовёт числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как за два таких действия гарантированно узнать $x$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями