Страница:
<< 39 40 41 42
43 44 45 >> [Всего задач: 232]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется
конечной или периодической десятичной дробью.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a1, a2, a3, ... и геометрическая b1, b2, b3, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
a1, a2, a3, ..., an, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что an+1 ≤ 10an при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.
В треугольнике ABC с углом B, равным 50°, и стороной BC = 3 на высоте BH взята такая точка D, что ∠ADC = 130° и AD = 
.
Найдите угол между прямыми AD и BC, а также угол CBH.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
При возведении числа 1 + 
в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )1 = 1 + = + 
, (1 + )2 = 3 + 2 = 
+ 
, (1 + )3 = 7 + 5 = 
+ 
, (1 + )4 = 17 + 12 = 
+ 
.
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства (1 + )n = an + bn, (n ≥ 0).
а) Выразите через an и bn число (1 – )n.
б) Докажите равенство 
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности
{an} и {bn}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для
последовательностей {an} и {bn}.
д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .
Страница:
<< 39 40 41 42
43 44 45 >> [Всего задач: 232]
Фильтр
