Этапы:
-
Региональный этап
(31 задача)
Заключительный этап
(24 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник
ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе
пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 ,
an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину
l=1,2,..,k 
.
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk>α , меньше, чем a1+a2+...+an α.
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
Задача 109709 (#00.5.11.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109710 (#00.5.11.4) |
|
|
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk>α , меньше, чем a1+a2+...+an α.
|
|
|
Решение |
Задача 109711 (#00.5.11.5) |
|
|
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
|
|
|
Решение |
Задача 109712 (#00.5.11.6) |
|
|
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
|
|
|
Решение |
Задача 108149 (#00.5.11.7) |
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
