Этапы:
-
Региональный этап
(31 задача)
Заключительный этап
(24 задачи)
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Внутри угла даны две точки A и B. Постройте окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.
Решение
Касательные к параболе в точках
,
,
образуют
треугольник ABC (рис.). Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в)
;
г)![$\sqrt[3]{S_{\alpha\beta C}}+\sqrt[3]{S_{\beta\gamma A}}=
\sqrt[3]{S_{\alpha\gamma B}}$](show_document.php?id=606343)
.
Решение
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Решение
Убрать все задачи
Внутри угла даны две точки A и B. Постройте окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.
РешениеКасательные к параболе в точках
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в)
г)
РешениеНа координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Решение
Задачи
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник
ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе
пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.
Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 ,
an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину
l=1,2,..,k 
.
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk>α , меньше, чем a1+a2+...+an α.
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
Задача 109709 (#00.5.11.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109710 (#00.5.11.4) |
|
|
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk>α , меньше, чем a1+a2+...+an α.
|
|
Решение |
Задача 109711 (#00.5.11.5) |
|
|
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
|
|
|
Решение |
Задача 109712 (#00.5.11.6) |
|
|
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
|
|
|
Решение |
Задача 108149 (#00.5.11.7) |
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]
