Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]

Задача 77887

Тема:

[

Иррациональные уравнения

]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Найти действительные корни уравнения:

x² + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$ 0 < a < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 77891

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Даны два треугольника: $\Delta$ ABC и $\Delta$ DEF и точка O. Берется любая точка X в $\Delta$ ABC и любая точка Y в $\Delta$ DEF; треугольник OXY достаивается до параллелограмма OXZY. а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник. б) Сколько сторон он может иметь? в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 77895

Тема:

[

Две касательные, проведенные из одной точки

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком `` плюс'', а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком `` минус''. Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

Прислать комментарий Решение

Задача 77899

Тема:

[

Разрезания (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Прислать комментарий Решение

Задача 77898

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]